기대값이란

기대값 개념에 대해 설명합니다. 기대값 개념에 대해 설명합니다. ChatGPT와 대화한 내용을 기반으로 작성했습니다.

 

2023. 11. 5 최초작성

기대값을 이해하려면, 먼저 "확률"을 이해해야 합니다. 확률은 어떤 일이 일어날 가능성을 수치로 나타낸 것입니다.  예를 들어, 주사위를 던지면 1부터 6까지의 숫자 중 하나가 나올 확률은 모두 같아서 1/6입니다.

 

게임에서 이기면 사탕 5개를, 지면 사탕을 1개 받는다고 해봅시다. 게임에 참여하는 사람들은 모두 같은 실력이라고 가정하면, 이길 확률과 질 확률은 1/2, 즉 50%가 됩니다. 

 

게임을 한 번 할 때 얼마나 많은 사탕을 받을지 기대하는 것이 기대값입니다. 기대값을 계산하려면 이길 때 사탕 5개를 받을 확률(1/2)과 질 때 사탕 1개를 받을 확률(1/2)을 각각 곱해준 다음 더해주면 됩니다. 

(5개 * 1/2) + (1개 * 1/2) = 2.5 + 0.5 = 3

 

따라서 한 게임을 할때 기대할 수 있는 사탕의 수는 3개입니다. 

 

이렇게 기대값은 각 결과에 그 결과가 일어날 확률을 곱한 값들을 다 더한 것을 의미합니다. . 이는 우리가 어떤 일을 할 때 어떤 결과를 '기대'할 수 있는지를 수치로 나타내는 것입니다. 

기대값은 모든 가능한 결과에 대해 결과가 나타날 확률과 그 결과의 가치(값)를 곱한 후 모두 더한 값이기 때문에, 게임을 한 번 더하더라도 기대값은 바뀌지 않습니다. 이는 각각의 게임이 독립적이기 때문입니다. 즉, 첫 번째 게임에서 이겼다고 해서 두 번째 게임에서 이길 확률이 증가하거나, 첫 번째 게임에서 졌다고 해서 두 번째 게임에서 질 확률이 증가하는 것은 아닙니다. 각 게임에서 기대할 수 있는 사탕의 수는 3개로 동일하게 유지됩니다.

 

하지만, 이것은 기대값이지 실제로 얼마나 많은 사탕을 받게 될지를 의미하지는 않습니다. 실제 받게되는 사탕의 개수는 확률에 따라 달라질 수 있습니다. 첫 번째 게임에서 5개의 사탕을 받을 수도 있고, 두 번째 게임에서는 1개의 사탕을 받을 수도 있습니다.  기대값은 우리가 어떤 결과를 "기대"할 수 있는지 알려주는 도구일 뿐입니다.

만약 게임을 할 때마다 받을 수 있는 사탕의 수가 변한다면, 각 게임의 기대값도 따라서 변하게 됩니다. 이럴 경우에는 각각의 게임에 대해 기대값을 따로 계산해야 합니다..

확률변수의 기대값은 그 확률변수가 가질 수 있는 각각의 값에 그 값이 나타날 확률을 곱한 것들의 합입니다. 다시말해, 확률변수의 "평균" 값을 의미합니다.

 

기대값의 정의는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

E[X] = Σ [x * P(X = x)]

 

여기서 E[X]는 확률변수 X의 기대값, P(X = x)는 확률변수 X가 특정 값 x를 가질 확률, Σ는 모든 가능한 x에 대해 합을 구하는 것을 의미합니다.

예를 들어, 주사위를 던져서 나올 수 있는 값과 그 확률을 고려해 기대값을 계산해봅시다. 주사위의 각 면이 나올 확률은 1/6이고, 각 면에는 1부터 6까지의 숫자가 있습니다.

 

따라서 주사위의 기대값은 다음과 같이 계산될 수 있습니다:

E[X] = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3.5

 

이는 단순히 각각의 가능한 결과 (1, 2, 3, 4, 5, 6)에 그 결과가 발생할 확률 (1/6)을 곱하고, 그것들을 모두 합한 값입니다. 즉, 주사위를 무한히 많이 던진다면 평균적으로 나오는 값이 3.5라는 것을 의미합니다.

하지만 주사위 던져서 3.5라는 값이 나올 수 없습니다. 주사위를 던져서 나오는 실제 결과는 정수인 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나입니다. 그러나 기대값은 확률적 평균을 나타내는 것으로, 실제로 나타날 수 있는 값이 아니라 이론적인 평균을 의미합니다. 즉, 주사위를 무한히 많이 던진다면 평균적으로 나오는 값이 3.5라는 것입니다. 이는 "기대값"이라는 개념이 확률적 의미를 가진 평균을 나타내는 것임을 알 수 있습니다. 그래서 이를 "평균"이라고도 표현하지만, 실제 가능한 값과는 다를 수 있습니다.

 

기대값은 한 번 시행한 이벤트의 결과를 예측하는 것이 아니라, 동일한 확률적 과정을 반복할 때 '평균적으로' 어떤 결과를 기대할 수 있는지에 대한 정보를 제공합니다. 주사위를 수천 번, 수만 번 던진다면 그 결과의 평균값이 기대값인 3.5에 가깝게 수렴하는 것을 보게 될 것입니다.

주사위를 던질 때 기대값이 3.5라는 것을 알아도, 그로부터 당장의 결과, 즉 다음에 던질 때 어떤 숫자가 나올지를 예측하는 데에는 직접적으로 도움이 되지 않습니다. 왜냐하면 주사위는 '공정한' 게임 도구이기 때문에, 각 숫자가 나올 확률은 항상 동일하며, 각 던짐은 독립적이기 때문이죠. 

 

하지만, 만약 여러 번 주사위를 던져야 하는 상황이라면, 예를 들어 게임에서 주사위를 여러 번 던져 누가 더 높은 총합을 얻는지 결정한다던가, 그럴 때는 기대값이 중요한 역할을 합니다. 여러 번 주사위를 던진다면, 장기적으로 보면 각 숫자의 합의 평균은 대략 3.5에 가까울 것입니다. 이는 그만큼 많은 주사위 던짐에서 평균적인 결과를 예측하는 데 도움이 됩니다.

 

예를들어 여러명이 각자 10번 주사위를 던져서 나온 숫자들을 모두 더한 후, 더 큰 숫자를 얻은 사람이 이기는 게임을 한다고 가정해봅니다.  주사위를 던질 때, 어떤 숫자가 나올지는 미리 알 수 없지만 기대값은 주사위의 모든 가능한 결과(1, 2, 3, 4, 5, 6)의 평균인 3.5입니다.

 

기대값을 알고 있으면 게임을 시작하기 전, 10번 주사위를 던지고 그 결과를 모두 더했을 때 "평균적으로" 얼마나 나올지 예상해볼 수 있습니다. 각 던지기마다 기대값이 3.5이므로, 10번 던질 경우 그 기대값은 3.5 * 10 = 35가 됩니다. 즉,  10번 주사위를 던진다면, 평균적으로 그 합은 35에 가까울 것이라고 기대할 수 있습니다.

 

물론 실제 게임에서는 운에 따라 이보다 높거나 낮은 결과가 나올 수 있습니다. 하지만 기대값은 여러분이 게임 전에 어느 정도의 결과를 기대해볼 수 있는지에 대한 기준을 제공해줍니다. 그래서 주사위 게임을 하거나, 주사위를 이용하는 다른 게임을 할 때 이런 기대값의 개념을 알고 있으면 도움이 될 수 있어요.